x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+......$ গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

সুতরাং, ধারাটির n তম পদ $=a{r}^{n-1}$, যেখানে $n\in N$|

এবার, $r\ne 1$হলে ধারাটির n তম আংশিক সমষ্টি

$S_n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+.........+a{r}^{n-1}$

$S_n=a.\frac{r^n-1}{r-1}$ যখন $r>1$ এবং $S_n=a.\frac{1-r^n}{1-r},$ যখন $r<1$
 

লক্ষ করি:
ক) $\left|r\right|<1$ হলে, অর্থাৎ,$-1<r<1$ হলে,$n$ এর মান বৃদ্ধি করলে ($n\to \infty$ হলে) $\left|r^n\right|$ এর মান হ্রাস পায় এবং $n$ এর মান যথেষ্ট বড় করলে $\left|r^n\right|$এর মান 0 এর কাছাকাছি হয়। অর্থাৎ $\left|r^n\right|$ এর প্রান্তীয় মান (Limiting Value) 0 হয়।

ফলে $S_r$ এর প্রান্তীয় মান $S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}=\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}=a.\frac{a}{1-r}$
এক্ষেত্রে, অসীম ধারাটির সমষ্টি $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
খ) $\left|r\right|>1$হলে, অর্থাৎ $r>1$ অথবা $r<-1$ হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে $\left|r^n\right|$ এর মান বৃদ্ধি পায় এবং $n$ কে যথেষ্ট বড় করে $\left|r^n\right|$এর মান যথেষ্ট বড় করা যায়। সুতরাং এমন কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা S পাওয়া যায় না, যাকে $S_n$ এর প্রান্তীয় মান ধরা যায়।

অর্থাৎ, এক্ষেত্রে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।

গ) $r=-1$ হলে, $S_n$ এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা, $n$ জোড় সংখ্যা হলে ${\left(-1\right)}^n=1$ এবং n বিজোড় সংখ্যা হলে ${\left(-1\right)}^n=-1$। এক্ষেত্রে ধারাটি হবে, $a-a+a-a+a-a+......$।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

ঘ) $r=1$ হলেও $S_n$ এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা তখন ধারাটি হবে $a+a+a+a+a+.....$(n সংখ্যক)। অর্থাৎ $S_n=na$ যা $n$ এর মান বাড়িয়ে যথেষ্ট বড় করা যায়।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।

$\left|r\right|<1$ অর্থাৎ, $-1<r<1$ হলে,$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+.....$ অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি $S=\frac{a}{1-r}$| $r$ এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না। 

মন্তব্য: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিকে (যদি থাকে) $S_{\infty }$ লিখে প্রকাশ করা হয় এবং একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বলা হয়। অর্থাৎ,$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+.....$ গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$ যখন $\left|r\right|<1$। 

উদাহরণ ২. নিচের অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় কর।
ক) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+......$

খ)$1+0.1+0.01+0.001+.....$
গ) $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4}+......$
সমাধান:
ক) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ,$a=\frac{1}{3}$ এবং সাধারণ অনুপাত$r=\frac{1}{3^2}\times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}<1$

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

খ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{0.1}{1}=\frac{1}{10}<1$
$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{10}}}=\frac{10}{9}=1\frac{1}{9}$

গ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$
$\therefore$ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=3.414$ (আসন্ন )